\frac{2\xi e^{2\xi^2-1}}{e-1}f(1)$”
还是不对，右边仍有$f(1)$。
林澈感到额头渗出细汗。记忆就像隔着一层毛玻璃，能看到轮廓但看不清细节。他确定赵建国讲过这道题，确定答案用到了柯西中值定理，但具体怎么消去$f(1)$……
“还有三十分钟。”赵建国的声音响起。
教室里一阵骚动。时间压力开始显现。
林澈强迫自己冷静。他盯着题目，一个字一个字地读：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$。
已知条件只有这些。要证明存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。
这意味着，无论$f(1)$是多少，总能找到这样的$\xi$。
一个想法突然冒出来：如果对任意的$f(1)$都能找到$\xi$，那么特别地，取$f(1)=0$时，由罗尔定理立即得证。但$f(1)$不一定为零……
等等，可以构造一个新函数！
林澈的笔尖在纸上疾书：
“考虑函数$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(1)}{e-1}(e^{x^2}-1)$。则$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=f(1)-\frac{f(1)}{e-1}(e-1)=0$。
对$\varphi(x)$应用罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\varphi'(\xi)=0$。
而$\varphi'(x)=f'(x)-\frac{2xf(1)}{e-1}e^{x^2}$
故$f'(\xi)=\frac{2\xi f(1)}{e-1}e^{\xi^2}$
又由$\varphi(\xi)=0$得$f(\xi)=\frac{f(1)}{e-1}(e^{\xi^2}-1)$
两式消去$f(1)$，得$f'(\xi)=2\xi f(\xi)$。证毕。”
写完最后一个**，林澈长长舒了口气。
他知道这不是标准答案，但逻辑严密，自洽。而且，这个解法展现了他对数学工具的灵活运用——构造辅助函数，利用罗尔定理，然后
…。。