∈N,∃! n′∈N∀n∈N,∃!n′∈N，对于任意自然数 m,nm,n，如果 mm 的后继数等于 nn 的后继数（即 m′=n′m′=n′），则 m=nm=n。0 不是任何自然数的后继数。即：不存在自然数 nn，使得 n′=0n′=0。形式化：¬(∃n∈N, n′=0)¬(∃n∈N,n′=0)。
从这些公式出发，用区区五十步就能证明1+1=2。
希尔伯特觉得这套基于公理和证明的数学体系非常棒，他提出，还要再证明这套系统有三种美好品质，即：
完备性（所有真命题都可以从公理出发得到证明）
一致性（这个体系不存在矛盾）
可判定性（存在一个算法能判定任意一个命题是否可以从公理出发证明）。
如果能证明公理化的数学体系有这三点美好品质，那么数学就再也无懈可击，人类甚至可以发明一台机械先写出所有公理，然后进一步推演，写出所有一步证明定理，二步证明定理。
注入庞大算力之后，这台机械最终能证明一切数学真理，所有猜想都必然可以证明或证伪，就像是湖水里面的鱼一样，只要抽干湖水就能收获所有的鱼。
数学的大厦已经落成，后续的数学家只剩一些修饰工作了。
这样的数学真是美好，一切都是确定的。
然而哥德尔一挥手，数学大厦上方出现两朵乌云。
他证明了数学根本不完备。
哥德尔的证明思路非常巧妙，他发明了一套编码系统，为形式语言中的每一个符号、每一个公式、甚至每一个证明序列，都赋予一个独一无二的自然数作为编号，这种符号叫做哥德尔数。
“哥德尔数？”许晨轻声重复着这个陌生的词汇。
“对，哥德尔数。”郑院士目光落在远处机房闪烁的指示灯上：“他用哥德尔数证明了，对于任何一个包含算术的形式系统，你总能构造出一个命题G，而G说的恰恰是‘命题G在系统内不可证明’。”
许晨感觉顿悟一般，头皮都有些发麻：“这不是……自己说自己？”
“看来你理解了关键，自指，一切数学悖论的源头。”郑院士点点头：“哥德尔把证明这个元数学概念，编码进了算术本身，证明序列被翻译成自然数，推演规则被转换成算术运算。于是，数学系统忽然就拥有了谈论自己的能力。”
他顿了顿，语气微微加重：“就像一个人忽然能对着镜子
…。。